如果上天能再给我一次机会，我会选择看懂麦克斯韦方程组

佚名 2015-11-06 20:15:25

如何尽可能使用形象朴素的语言讲解麦克斯方程组。微积分可以不做深入解释，但是如何使用高中知识解释方程组的推导极其物理意义？

花了好长好长时间写的，请不要转载。（知乎日报已获授权）

提问简直坑爹。不讲微积分怎么讲麦克斯韦方程组？麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分。既然这样，我只能躲躲闪闪，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。

（知乎日报注：虽然作者已经很努力地用通俗的语言讲解，下文仍含大量方程和公式，请理性选择，按需阅读 ^ ^）

1. 力、能、场、势

经典物理研究的一个重要对象就是力 force。比如牛顿力学的核心就是F=ma这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好，它是个向量 vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。能量 energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个标量 scalar，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。

在电磁学里，我们通过力定义出了场 field的概念。我们注意到洛仑兹力总有着F=q(E+v×B) 的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷×速度），剩下的部分便是势 potential。

一张图表明关系：

　　　　积分

　　力－－－＞能

　　｜　　　　｜

　　场＜－－－势

　　　　微分

具体需要指出，这里的电场（标为E）和磁场（标为B）都是向量场，也就是说空间中每一个点都对应着一个向量。如果我们把 xyz 三个分量分开来看的话，这就是三个标量场。而能量和势是标量（电磁学中的势其实并不是标量，原因马上揭晓），放到空间中也就是一个标量场。在力 / 场和能量 / 势之间互相转化的时候，我们是在 31 个标量场之间转化，必然有一些信息是丢掉了的。怎么办？

一个显而易见的答案是“保守力场”conservative force field。在这样一个场中，能量（做功）不取决于你选择什么样的路径。打个比方，你爬一座山，无论选择什么路径，只要起点和终点一样，那么垂直方向上的差别都是一样的，做的功也一样多。在这种情况下，我们对力场有了诸多限制，也就是说，我假如知道了一个保守力场的 x 一个分量，那么另两个分量 yz 就随之确定了，我没得选（自由度其实只有一个标量场）。有了保守力场这样的额外限制，向量场F（3 个标量场）和（1 个）标量场 V 之间的转化便不会失去信息了。具体而言，二者关系可以写作F=-?V。这里不说具体细节，你只要知道?是一种固定的、把一个标量场变成三个标量场的算法就可以了（叫做算符 operator）。

那么我们想问，电场和磁场是不是保守力场呢？很不幸，不是。在静电学中，静止的电场是保守的，但在电动力学中，只要有变化的电场和磁场，电场就不是一个保守力场了；而磁场从来都不是保守力场。这也就是说明，在电磁学中，我们很少涉及能量这个概念，因为它不能完整地描述一个电磁场。我们更多时候只关注“场”这个概念，尽管因此我们不得不涉足很多向量微积分，但我们没有办法，这是不让信息丢掉的唯一办法。那么，既然势也是标量，它是否也是一个没什么用的概念呢？恰恰相反，在电动力学中我们定义出了“向量势”vector potential，以保留额外的自由度。后面我会更具体地谈到这一点。

总而言之，我想说明一点，那就是电磁学的主要研究对象是电场和磁场，而麦克斯韦方程组就是描述电场和磁场的方程。势（包括电势和磁向量势）也是有用的概念，而且不像引力势是一个标量，在电磁学中势不得不变成一个向量。

2. 麦克斯韦方程组

前边说到，麦克斯韦方程组 Maxwell equations 是描述电场和磁场的方程。前边也说到，因为电磁场不是保守力场，它们有三个标量场的自由度，所以我们必须用向量微积分来描述电磁场。因此，麦克斯韦方程组每个式子都出现了向量微积分，而整个方程组也有积分形式和微分形式两种。这两种形式是完全等价的，只是两种不同的写法。这里我先全部写出。

积分形式：

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微分形式：

这里E表示电场，B表示磁场，ε0%20和μ0%20只是两个常数暂时可以忽略。积分形式中%20Q%20是电荷，I%20是电流，V%20表示一块体积，?V%20表示它的表面，而%20S%20表示一块曲面，?S%20表示它的边缘。微分形式中%20ρ%20是电荷密度（电荷%20/%20体积），J是电流密度（电流%20/%20面积），?%20·和?%20×是两个不同的算符，基本可以理解为对向量的某种微分。

先不说任何细节，我们可以观察一下等式的左边。四个方程中，两个是关于电场E的，两个是关于磁场B的；两个是曲面积分%20∫da或者散度?%20·，两个是曲线积分%20∫dl或者旋度?%20×。不要管这些术语都是什么意思，我后面会讲到。但光看等式左边，我们就能看出四个式子分别描述电场和磁场的两个东西，非常对称。

3.%20电荷%20->%20电场，电流%20->%20磁场

这一部分和下一部分中，我来简单讲解四个式子分别代表什么意思，而不涉及任何定量和具体的计算。

我们从两个电荷之间的库仑力讲起。库仑定律%20Coulomb’s%20Law是电学中大家接触到的最早的定律，有如下形式：

其中%20Q%20是电荷，r%20是电荷之间的距离，r是表示方向的单位向量。像我之前说的，把其中一个电荷当作来源，然后刨去另一个电荷，就可以得到电场的表达式。

高中里应该还学过安培定律%20Ampere’s%20Law，也就是电流产生磁场的定律。虽然没有学过具体表达式，但我们已经能看出它与库仑定律之间的区别。库仑定律描述了“两个”微小来源（电荷）之间的“力”，而安培定律是描述了“一个”来源（电流）产生的“场”。事实上，电磁学中也有磁场版本的库仑定律，描述了两个微小电流之间的力，叫做毕奥%20–%20萨伐尔定律%20Biot-Savart%20Law；反之，也有电场版本的安培定律，描述了一个电荷产生的磁场，叫做高斯定律%20Gauss’s%20Law。这四个定律之间有如下关系：

数学上可以证明库仑定律（毕奥 – 萨伐尔定律）和高斯定律（安培定律）在静电学（静磁学）中是完全等价的，也就是说我们可以任意假设一个定律，从而推导出另一个定律。然而如果我们想从静止的静电学和静磁学推广到电动力学，前者是非常不便的而后者很却容易，所以尽管库仑定律在中学中常常提到，麦克斯韦方程组中却没有它，有的是高斯定律和安培定律。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的 (1) 和 (4) 的第一项，即：

高斯定律（积分、微分形式）：

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安培定律（积分、微分形式）：

我们继续推迟讲解数学关系，单看这几个式子本身，就能看到等式的左边有电场E（磁场B），而右边有电荷%20Q（电流%20I）或电荷密度ρ（电流密度J）。看，电荷产生电场，电流产生磁场！

4.%20变化磁场%20->%20电场，变化磁场%20->%20电场

然而这不是故事的全部，因为事实上电磁场是可以互相转化的。法拉第发现了电磁感应，也就是说变化的磁场是可以产生电场的，这就是法拉第定律%20Faraday’s%20Law。类似地，麦克斯韦发现安培定律的描述并不完善，除了电流以外，变化的电场也可以产生磁场，这被称为安培%20–%20麦克斯韦定律%20Ampere-Maxwell%20Law。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的%20(2)%20和%20(4)%20的第二项，即：

法拉第定律（积分、微分形式）：

安培%20–%20麦克斯韦定律（积分、微分形式）：

同样地，等式的左边有电场E（磁场B），而右边有磁场B（电场E）的导数%20d/dt%20或偏导%20?/?t。看，变化磁场产生电场，变化电场产生磁场！

需要指出的是，我这样的说法其实是不准确的，因为并不是真的某一个场“产生”的另一个场。这两个定律只是描述了电场（磁场）和磁场（电场）的变化率之间的定量关系，而不是因果关系。

小结一下，我们已经搞清楚了麦克斯韦方程组里每一项的意思，基本就是指出了电磁场的来源和变化电磁场的定量关系。下一步便是往我们这些粗浅的理解中加入数学，具体看看这些方程到底说了什么。在这之前，我们必须花一点时间了解一下向量微积分的皮毛。

5.%20向量积分

普通的单变量微积分基本可以理解为乘法的一种拓展。我们想计算一个矩形的面积，我们用长%20x%20乘宽%20y，即%20xy。如果宽不是一个定值而是根据长而变化的（也就是说宽是一个长的函数，即宽=y(x)），那么我们就需要积分，记为“∫y(x)dx”。这样的想法也很容易推广到更高的维度，比如在一块体积%20V%20内，若电荷密度为%20ρ，那么这块体积内的总电荷就是%20Q=ρV；如果%20ρ%20在空间中每一点都不一样，是个关于坐标的函数%20ρ(x)，那么就要变成积分%20Q=∫∫∫ρ(x)dV（这里三个%20∫%20表示是一个三维的积分，很多时候也可以省略写为一个%20∫）。

在向量场中，这个事情比较麻烦。首先两个向量的乘积的定义稍显复杂，必须使用点乘%20dot%20product，即u·v，它暗示着两个向量之间的角度，也就是有多么平行。如果u和v完全平行，它们的点乘是一个正值；如果方向相反，则是一个负值；如果垂直，那么为%200。另一方面，我们不一定要像上一个电荷的例子一样积上整个体积%20V，我们可以只积一个曲面%20S%20或者一条曲线%20γ。这就是所谓的曲面积分和曲线积分的概念。

曲面积分%20surface%20integral有如下形式：

其中%20S%20表示我们需要积的曲面，F是我们想要积的向量场，·代表点乘，a指向垂直于%20S%20的方向。因此，我们看到，如果F和%20S%20是平行的，那么点乘处处得%200，这个曲面积分也为%200。换句话说，曲面积分表示着向量场%20F%20穿过曲面%20S%20的程度，因此也很形象地叫做通量%20flux。下图为两个简单的例子（虚线%20—-%20表示曲面所在的位置）：

曲面积分（通量）为%200：

→%20→%20→%20→%20→

——————–

→%20→%20→%20→%20→

曲面积分（通量）不为%200：

↑%20↑%20↑%20↑%20↑%20↑%20↑%20↑

——————–

↑%20↑%20↑%20↑%20↑%20↑%20↑%20↑

那么曲线积分%20line%20integral也很类似，只不过我们不积一个曲面%20S%20而是一个一维的曲线%20γ。它有如下形式：

其中γ表示我们需要积的曲线，·代表点乘，l指向曲线γ的方向。不难看出，曲线积分表示着向量场%20F%20沿着曲线%20γ%20的程度。下图为两个简单的例子（虚线%20—-%20表示曲线γ）：

曲线积分不为%200：

→%20→%20→%20→%20→

——————–

→%20→%20→%20→%20→

曲线积分为%200：

↑%20↑%20↑%20↑%20↑%20↑%20↑%20↑

——————–

↑%20↑%20↑%20↑%20↑%20↑%20↑%20↑

特别地，如果曲线是闭合的（首尾相连的），那么我们可以在积分符号%20∫%20上画一个圈，表示闭合，然后这个特殊的曲线积分叫做环量%20circulation，因为是积了一个环嘛。很显然，如果F是个保守力场，那么我随便找一个闭合曲线，做的功都一定为%200（这就是保守力场的定义啊），所以保守力场的任意环量都为%200。最后一提，“环量”这个名字很少使用，一般就直接叫做“闭合曲线的积分”。

定义一个通量所使用的曲面%20S%20则不一定要是闭合的，任何曲面都可以。如果这个曲面很特殊恰好是闭合的，我们也可以在积分符号∫∫上画上一个圈，代表闭合，但这个量则没有一个特殊的名字了。

总结如下表：

6. 麦克斯韦方程组的积分形式

我非常不严谨地描述了曲面积分和曲线积分分别是什么。我们回头看看麦克斯韦方程组的积分形式，我们应该都能看懂了。

(1)%20高斯定律：　　　　电场E在闭合曲面%20?V%20上的通量，等于该曲面包裹住的体积%20V%20内的电荷（乘上系数%201/ε0）；

(2)%20法拉第定律：　　　电场E在闭合曲线%20?S%20上的环量，等于磁场B在该曲线环住的曲面%20S%20上的通量的变化率（乘上系数%20-1）；

(3)%20高斯磁定律：　　　磁场B在闭合曲面%20?V%20上的通量，等于%200；

(4)%20安培麦克斯韦定律：磁场B在闭合曲线%20?S%20上的环量，等于该曲线环住的曲面%20S%20里的电流（乘上系数%20μ0），加上电场E在该曲线环住的曲面%20S%20上的通量的变化率（乘上系数%20μ0ε0）。

虽然在我看来，这样的描述已经是非常通俗、没有任何数学了，但对于没有学习过微积分的同学来说，显然还是太晦涩了一点。那么我来举几个例子吧。

(1)%20高斯定律：

例子%201：假设我们有一个点电荷%20Q，以其为球心作一个球，把这块体积称为%20V，那么?V%20就是这个球的表面。这个电荷%20Q%20产生了一些电场，从中心的%20Q%20向外发射，显然电场线都穿过了球的表面?V，所以“闭合曲面?V%20的通量”是个正数，不为%200，而“该曲面包裹住的电荷”为%20Q，也不为%200。

例子%202：假设我们把电荷%20Q%20替换为%20-Q，那么所有的电场线方向都反过来了，?V%20的通量（记得通量中的点乘吗？）也因此获得了一个负号，所以“闭合曲面%20?V%20的通量”变成了负数，而“该曲面包裹住的电荷”为%20-Q，也变成了负数。等式再一次成立。

例子%203：假设我们把这个球的半径扩大为原来的%202%20倍，这个球的表面积就变成了原来的%204%20倍。与此同时，由于库仑力的反比平方定律，由于球表面与球心电荷%20Q%20的距离变成了原来的%202%20倍，在球表面%20?V%20的电场强度也变成了原来的%201/4。通量（电场和面积的积分）获得一个系数%204，又获得一个系数%201/4，所以“闭合曲面%20?V%20的通量”没有变，而“该曲面包裹住的电荷”显然仍然为%20Q，也没有变。

例子%204：事实上，我们随便怎么改变这一块表面积的大小、体积，算出来的通量都不会变（尽管会非常难算），因为等式的右边“该曲面包裹住的电荷”一直都没有变。

例子%205：假设我们把电荷移到这个曲面外面，那么电场线会从这个球的一面穿透进去，然后从另一面出来，所以当我们做积分的时候，两个方向的通量抵消了，整个“闭合曲面?V%20的通量”为%200，而此时我们的曲面没有包裹住任何电荷，所以“该曲面包裹住的电荷”也为%200。等式成立。

(2)%20法拉第定律：

例子%206：一圈闭合导线，环住了一块曲面%20S，则记这个曲线的位置为%20?S，那么经过%20?S%20的电场E的环量其实就是导线内的电势（电压）。垂直于%20S%20通过一些磁场B，则通过%20S%20的磁通量不为%200。然而此时导线内并没有电流，也就是说，并没有电压，“闭合曲线%20?S%20的环量”为%200。这是很显然的，因为磁通量并没有变化，没有电磁感应，换句话说，“曲面%20S%20上的通量的变化率”为%200。

例子%207：这个时候我突然增加磁场，所以磁通量变大了，“磁通量的变化率”为正，不为%200。因此，等式的左边“闭合曲线%20?S%20的环量”也为正，不为%200，也就是说，导线内产生了一些电压，继而产生了一些感应电流。这正是大家熟悉的法拉第电磁感应。

例子%208：如果我不是增加磁场，而是减小磁场，那么磁通量变小了，“磁通量的变化率”为负。那么等式左边“闭合曲线%20?S%20的环量”也获得了一个负号，换句话说，感应电流的方向反了过来。

(3)%20高斯磁定律：

例子%209：随便选择一个闭合曲面，整个曲面上的磁通量一定为%200。这和电场的情况迥然不同，因此说明，不像有可以产生电场的“电荷”，这个世界上是没有能单独产生磁场的“磁荷”（也就是“磁单极子”）的。

(4)%20安培%20–%20麦克斯韦定律：

例子%2010：假设我们有一个电流%20I，以其为轴作一个圆，把这个圆称为%20S，那么%20?S%20就是这个圆的边缘。这个电流%20I%20产生了一些磁场，（按照右手定则）绕着导线。显然磁场线和?S%20都是“绕着导线”，方向一致，所以“闭合曲线%20?S%20的环量”是个正数，不为%200，而“该曲线环住的电流”为%20I，也不为%200。

例子%2011：假设我们改变电流方向，即把%20I%20变成%20-I，那么所有的磁场线方向都反过来了，?S%20的环量也因此获得了一个负号，所以“闭合曲线%20?S%20的环量”和“该曲线环住的电流”均获得一个负号。等式再一次成立。

例子%2012：和高斯定律很像，我们随便怎么改变这一个环的大小、面积，只要环住的电流不变，算出来的环量都不会变（尽管可能会非常难算）。而若电流在这个环外面，尽管仍然有磁场存在，但在计算环量时相互抵消，使得等式两边都变成%200。

例子%2013：“变化的电场产生磁场”（即第二项）的例子非常难找，这也正是安培当年没有自己发现、非要等到麦克斯韦帮忙才发现的原因。我这里不妨不再细述，读者只要接受这个设定就好。有兴趣的读者可以自己思考一个这种情况的例子。

最后，还记得我们之前说过“保守力场的任意环量都为%200”吗？显然，要想让磁场的环量为%200，那就只能既没有电流（方程%20(4)%20中的第一项），也没有变化的电通量（第二项），那么磁场只能为%200。换言之，任何磁场都不是保守力场。想让电场的通量为%200%20还比较简单，只需要令磁通量不变（方程%20(2)）就好了。换言之，只有在静电学（电磁场均静止不变）中，静电场才是保守力场。

7.%20向量微分

麦克斯韦方程组描述了所有的电磁现象，从每个方程的名字也可以看出，方程组总结、整合了前人（库仑、高斯、安培、法拉第等）发现的各种现象和其方程（在麦克斯韦以前这样的方程可能有数十个），而麦克斯韦把它们总结归纳到了一起，用短短四个公式涵盖了所有现象，非常了不起。然而平心而论，积分形式仍然显得颇为繁琐，原因有二：1.%20积分是很难算的，虽然每一个方程的左右两边都必然相等，但随便给你一个场和一个曲面%20/%20曲线，想把左侧的积分算出来极为困难；2.%20也正因为如此，我们尽管有可以描述电磁场的方程，但给定一个特定的来源（比如天线中一个来回摇摆的电荷），我们想算出具体的E和B也是极为困难，因为我们只知道%20E%20和%20B%20在某个特殊曲面%20/%20曲线上的积分。

这就是微分形式的好处。首先，计算一个给定向量场的微分（散度和旋度）是很简单的，只要使用之前提到过的?%20·和?%20×算符就好，而这两个算符都有一套固定的算法。其次，散度和旋度代表着一个向量场的两种不同的自由度，有着非常直接的几何意义，从这两个量中恢复出向量场也是比较直观的过程。当然，我们又需要再准备一些向量微积分的知识，其中的重点就是散度和旋度。

散度%20pergence，顾名思义，是指一个向量场发散的程度。一个向量场F的散度是一个标量场（向量场的每一点有一个自己的散度），写作?%20·%20F（这个写法也很直白，因为点乘就是标量）。如果一个点的散度为正，那么在这一点上F有向外发散的趋势；如果为负，那么在这一点上F有向内收敛的趋势。

旋度%20curl则指一个向量场旋转的程度。一个向量场F的旋度是一个向量场（向量场的每一点有一个自己的旋度，而且是一个向量；这是因为旋转的方向需要标明出来），写作?%20×%20F（这个写法也很直白，因为叉乘就是向量）。如果一个点的旋度不为%200，那么在这一点上F有漩涡的趋势，而这个旋度的方向表明了旋转的方向。

举些例子，以下是两个向量场的例子。其中第一个向量场往外发散，但完全没有旋转扭曲的趋势；第二个向量场形成了一个标准的漩涡，但没有任何箭头在往外或往里指，没有发散或收敛的趋势。（显然这两个图都是用字符直接画的；大家凑合着看，有空我再搞张好看点的图）

散度不为%200、但旋度为%200%20的向量场：

↖%20↑%20↗

←%20·%20→

↙%20↓%20↘

旋度不为%200、但散度为%200%20的向量场：

↗%20→%20↘

↑%20%20·%20%20↓

↖%20←%20↙

因此，如你所见，散度和旋度描述的都是非常直观的几何性质。只要知道一个向量场的散度和旋度，我们就可以唯一确定这个向量场本身（这是亥姆霍兹定理，我要是有兴致可以以后简单谈谈）。

麦克斯韦方程组的微分形式，就是要描述电磁场的散度和旋度。我前边说到，微分形式和积分形式是完全等价的，我很也可以很轻松地从一个形式推导出另一个形式，用的是高斯定理（不要和高斯定律混淆、又叫散度定理）和斯托克斯定理。

高斯定理%20Gauss’s%20Theorem：一个向量场F在闭合曲面%20?V%20上的通量，等于该曲面包裹住的体积%20V%20里的F全部的散度（F的散度的体积积分）。这是可以想象的，毕竟通量就是在计算有多少场从这个闭合曲面里发散出去了，也就是总共的散度（散度的积分）。

斯托克斯定理%20Stokes’%20Theorem：一个向量场F在闭合曲线%20?S%20上的环量，等于该曲线环住的曲面%20S%20上的F全部的旋度（F的旋度的曲面积分）。这也是可以想象的，毕竟环量就是在计算有多少场和这个环方向一样（有多少场在沿着这个环旋转），也就是总共的旋度（旋度的积分）。

总结如下表：

8. 麦克斯韦方程组的微分形式

了解了散度和旋度的概念之后，我们便可以读懂麦克斯韦方程组的微分形式了。

(1)%20高斯定律：　　　　电场E的散度，等于在该点的电荷密度%20ρ（乘上系数%201/ε0）；

(2)%20法拉第定律：　　　电场E的旋度，等于在该点的磁场B的变化率（乘上系数%20-1）；

(3)%20高斯磁定律：　　　磁场B的散度，等于%200；

(4)%20安培麦克斯韦定律：磁场B的旋度，等于在该点的电流密度J（乘上系数%20μ0），加上在该点的电场E的变化率（乘上系数%20μ0ε0）。

我们可以看出，电荷和电流对电场和磁场干的事情是不一样的：电荷的作用是给电场贡献一些散度，而电流的作用是给磁场贡献一些旋度。然而变化的电磁场对对方干的事情是一样的，都是给对方贡献一些旋度。

想看一些具体例子的同学要失望了。微分形式的例子比较难举，因为微分形式主要是让计算更加简便，在数学上比较有优势，而应用到具体的现象上则不那么显而易见。不过，至少静电磁场的例子还是可以举的。比如，我们知道电场线总是从正电荷出发、然后进入负电荷，这正是在说电场的散度在正电荷处为正，在负电荷处为负。再例如我们知道磁场线总是绕着电流，而不会进入或发源于电流，这也就是在说磁场有旋度而一定没有散度。

9.%20电磁波

我刚刚提到，微分形式的主要好处是数学上处理起来很简便，我现在就给一个例子，也就是著名的光速。想象我们在真空中，周围什么都没有。这个时候，显然电荷密度和电流密度均为%200，所以麦克斯韦方程组的微分形式变成了：

这四个公式简直太对称了！而且它们的含义也很清晰，基本就是说，变化的电场产生磁场，而变化的磁场产生电场。这就是电磁波%20electromagnetic%20wave的方程，电磁波也就是电场和磁场此消彼长、相互转化、向前传播的形式。

想要具体解出这个方程的解，还是需要玩儿一会儿微积分的，但是我们注意到两个式子分别有系数%20-1%20和%20μ0ε0。如果你了解波动方程的话，从这两个系数就可以算出这个波传播的速度，为

然而！μ0%20和%20ε0%20这两个常数是真空的性质（分别叫做真空电导率%20vacuum%20permittivity和真空磁导率%20vacuum%20permeability），是个定值。换句话说，电磁波传播的速度（光速）也是一个定值！也就是说，在任何参考系里观察，光速都应该是一样的%20c！这根据伽利略速度相加原理是不可能的（静止的你认为火车的速度是%2050%20m/s，那么如果你以%201%20m/s%20的速度往前走你就会认为火车的速度只有%2049%20m/s，显然不会仍然是%2050%20m/s），但是电磁学却实实在在地告诉我们光速是不会变的。呐，这就是相对论的由来了。

10.%20方向性

可能有同学已经发现，我们的讨论中似乎忽略了很重要的一部分就是方向性。毕竟初高中学电磁的时候，出现了各种左手、右手定则（插一句，请一定一定忘掉左手定则，使用左手简直反人类，在正统的向量微积分和电磁学里只有右手定则）。在之前对于麦克斯韦方程组的诠释中，我们似乎很少提及方向。麦克斯韦方程组描述了方向性吗？

答案是肯定的。方向或者说手性（为什么是“右手”定则而不是“左手”定则？）来自于叉乘的定义和面积的向量微分元素的定义。我们定义叉乘u×v是一个向量，指的方向是垂直于u和v的方向；但显然有两个不同的方向均满足这个条件，而我们选择了其中特定的一个，把选择的这个规则叫做“右手定则”。类似地，一个曲面%20S%20也有两个方向（即其微分元素%20da是向量）。注意到曲线积分也是有方向性的（即其微分元素%20dl也是向量），因此我们把%20S%20的%20da和%20?S%20的%20dl联系起来，这个联系的规则也叫做“右手定则”。

上面这些情况中，选择“右手”是非常随意的；原则上我也可以全部选择左手，那么我得到的数学体系和原来的是完全等价的。当然，磁场B会和原来的磁场指的方向完全相反，但是没有关系，因为我们又不能直接看到磁场，所有的定律的手性都变了之后，描述的物理是不变的。但是，选择右手是约定俗成的，也就没必要再纠结为什么了。

S1.%20附录：省略掉的各种公式和定义

库仑定律：