埃菲尔铁塔是巴黎和法国的象征，可谓是家喻户晓。那它为什么是这个形状呢？仅仅是因为好看吗？那为什么这个形状就好看呢？
抛开其它因素，仅仅从工程角度出发，为什么不是这种直筒矩形呢？当初埃菲尔是怎么考虑的呢？
对于结构工程师们来说，也许一句“这是风荷载的弯矩图的形状”就够了。但这是知乎，我的目的也是科普，所以我不会做这样的回答。让我们从小学自然开始吧！
或许是杜撰，或许是确有其事，总之，我们都知道阿基米德老师曾经说过，“给我一个支点，我能撬动地球”。
根据杠杆原理，对于转轴点力矩平衡，假设地球的重量是 50，地球那一端的杠杆长度是 1，阿基米德这一端的长度是 10，50 乘 1 除 10 等于 5，那么阿基米德只需要 5 的力就可以撬动地球。我们把这个力与旋转轴心之间的垂直距离叫做力臂，也就是在上图中，地球的力臂是 1，阿基米德的力臂是 10。阿基米德这边的力臂越长，所需的力就越少，如果力臂是 500，那需要的力变成了 50 乘 1 除 500 等于 0.1。
言归正传，我们把目光放到建筑上，假设我有上图这么一个建筑，最上面施加一个水平力。我们都有推倒东西的经验，一个纸箱子，一推就倒。那为什么涂阴影的整个三层不会绕着右下角倾倒呢？很简单，因为二层左边的柱子把它给拉住了。按照我们刚才的绕旋转中心力矩平衡，外部施加的水平力是 1，力臂 L 是 10，柱子把阴影部分拉住的力臂 d 是 5，那么柱子的拉力就是 1 乘 10 除 5 等于 2。
同样的道理，三层加二层合起来的阴影部分也有可能被推倒，整个这两层被一层左边的柱子给拉住了，这时候柱子拉力的力臂 d 还是 5，但是水平力的力臂 L 变成了 20，柱子的拉力就变成了 1 乘 20 除 5 等于 4。整个三层楼加起来也有可能被推倒，只不过，基础的拉力把整个三层楼拉住了，这个时候，外部水平力的力臂 L 变成了 30，基础的拉力相应的变成了 6。
同时，我们也注意到，这些阴影部分不光有可能以右下角为转动轴向上转动进而倾倒，还有可能以左下角为转动轴向下转动。之所以没有如此，是因为被右边的柱子给顶住了。这个柱子的力是多少呢？跟刚才一样，力臂是 5，大小是 1 乘 10 除 5 等于 2。对于一层、基础，同样也是如此，右边的柱子要顶住自己上面的部分，受力大小跟左边的拉力一样，分别是 4 和 6。
也就是说，我们最终得到了这个结果。为了抵抗房顶的这个大小为 1 的水平力，左边的柱子要把自己上面的部分“拉住”，右边的柱子要把自己上面的部分“顶住”，每层柱子受力的大小从上往下承线性递增，分别是 2、4、6。这就意味着，最底下的柱子要比最上面的柱子结实 3 倍，要么变粗，要么用更好的材料，总之，底部柱子需要承担 3 倍的顶部柱子的受力。这也意味着，底部柱子的造价差不多是顶层的 3 倍。
那如果我不想多花这些钱呢？有没有什么办法让底部柱子受力和顶部柱子差不多呢？
我们再想一下柱子受力的大小是怎么来的？水平力 1 乘以水平力的力臂 L 除以柱子的力臂 d，d 从上到下都是 5，L 从上到下从 10 增加到 30，所以柱子的受力从 2 增加到 6。外部水平力 1 是肯定不会变的，L 从上到下不管怎么变都是 10 增加到 30，那如果我变动 d 呢？如果我把最底下的宽度 d 从 5 增加到 15，柱子的受力就变成了 1 乘 30 除 15 等于 2。看，不再需要能承受 6 的柱子了，从上到小都可以用受力能力为 2 的柱子，只要我们逐层改变 d 的数值。
简单说，为了抵御楼顶的这个水平力，对于每个楼层，柱子受力的大小跟楼层的宽度 d 的乘积是一个定值。从上到下，如果 d 不变，那柱子的受力就会逐渐变大，反之，我想要柱子的受力不变，那只需要逐渐增加宽度 d 的数值。比如对于 L 为 20 的那一层，左边是受力 4 乘以宽度 5 等于 20，右边是受力 2 乘以宽度 10 也等于 20；对于最底下，左边是 6 乘 5 等于 30，右边是 2 乘 15 也等于 30。效果没变，但是增加了宽度，减小了受力。
看到这里，诸位看官估计已经明白了埃菲尔铁塔的原理。那我们就把目光投向埃菲尔铁塔，假设我有一个跟埃菲尔铁塔一样高的立面矩形的塔，这个塔承受的不再是简单的最顶端为 1 的水平力，而是一系列风荷载的水平力。我们都知道，越高的地方风越大，我们近似越往上风荷载越大，也就是楼层处的集中力越大。
我们假设风荷载是这样的，最下面是 1，最上面是 19，中间逐渐变化，虽然不准确，但是可以这样大致估算。
用上面我们的方法，最上面那个小方格是这样的，最上面两个小方格是这样的，最上面三个小方格是这样的，依次类推，直到包括到最底下的那个小方格……
左边就是每一层的计算结果，再按照我们上面增加 d 从而减小受力的思路，我把最底下的 d 从 1 增大到 7.6，相应的受力从 2470 变为 2470 乘 1 除 7.6 等于 325。同样的思路，每一层都做同样的处理，让每一层的受力都变为 325。比如，原先左边受力 1196 的那一层，宽度变为 3.68，受力变为 1196 乘 1 除 3.68 等于 325；原先左边受力 364 的那一层，宽度变为 1.12，受力变为 364 乘 1 除 1.12 等于 325。
最后，我们把我们得到的图形跟实际的埃菲尔铁塔对比一下，怎么样？基本上就是这个形状哦。当然，还是有差距的，因为风荷载虽然是主导荷载，但也有其它因素。同时，我们得到的图形显得有点矮胖，让某些构件受力大一些，但是让整体显得优雅美丽，这都是可以接受的。
这是当年埃菲尔公司的一张草图，虽然看上去更加复杂和详细，但基本思路和我们这个简化的分析是一样的。
如果你有兴趣自己试一下的话，可以试着偷点懒，毕竟，摁计算器挺累的，还容易摁错。可以试着用 MathCAD 或者 Excel，方便快捷，工程师居家旅行之必备神器。
比如这就是我的 MathCAD 计算过程。
虽然，现在看起来，这样的分析稀松平常。就像牛顿三定律在我们今天看来就像常识一般，但在它出现的年代，却是非凡的成就。在埃菲尔铁塔之前，几乎所有的结构设计都是凭经验拍脑袋，埃菲尔铁塔是人类首批用有根有据、完整翔实的数学分析来完成结构设计的工程项目之一。从这一刻起，结构工程从师傅带徒弟的手工业迈入了有着坚实数理基础的工程科学新时代。
各位看官又要问了，既然可以用增加宽度的方法来减小柱子的受力，那为什么现在的高层建筑都是直筒矩形呢？干嘛不用这种方法呢？因为地价实在是太昂贵了，宁可多花钱，也要多出面积。同样的地盘，当然是直筒矩形出的面积多。你逐层内收，柱子受力倒是小了，出的面积也小，这不是得不偿失嘛。
如果你观察一下东方明珠、东京塔这样的电视塔，你会发现，它们依然在用这个策略。即使是高层建筑，同样也有采用这个策略的。Fazlur Khan 的名作汉考克中心就是向上内收，而乔普拉老师的神作《结构动力学》封面上的泛美大厦也是一个例子。
位于旧金山的泛美金字塔，就采用了类似的策略，从上往下宽度逐渐变大。
那有没有反面例子呢？当然有了。我又要继续黑建筑大师们了。虽然我是柯布老师的脑残粉，我还收藏着柯布老师全集，但是，作为一个结构工程师，我不得不说，底层架空鸡腿柱是个非常糟糕的设计。
在受力最大的底层，不仅没有加大宽度，反而内收为两个鸡腿柱……这不科学啊！
回到埃菲尔铁塔这里，埃菲尔铁塔是 19 世纪铁结构时代的最后一抹余晖，在它之后，我们迈入了钢和混凝土的时代。但同时，埃菲尔铁塔又是一个时代的揭幕人，它开创了精确的的结构分析的新时代，它是结构工程领域不朽的里程碑。
也许在当时，睿智的埃菲尔就已经料到了他的铁塔会成为工程科学的丰碑。他特意在铁塔的第一平台上刻上了为工程科学作出卓越贡献的 72 位法国科学家、数学家和工程师的名字，这其中包括拉格朗日、拉普拉斯、居维叶、拉瓦锡、安培、纳维叶、盖·吕萨克、柯西、菲涅尔、库仑、傅科、蒙日、泊松、傅立叶、拉扎尔·卡诺等等。
也许面对埃菲尔铁塔这样的美景，脑子里却在想它是风荷载弯矩图的形状，挺煞风景的。但是，我坚信，美是真实的火花。也许正是因为这些特质，才让埃菲尔铁塔如此的优雅而又迷人。
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发自知乎专栏「土木僧的写写画画」
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