A set E is said to be finite provided either it is empty or there is a natural number n for which E is equipotent to {1, …, n}. We say that E is countably infinite provided E is equipotent to the set N of natural numbers. A set that is either finite or countably infinite is said to be countable. A set that is not countable is called uncountable.
我想这段话就足够回答题主的问题啦。不过我想换一个有趣的角度解释一下~
问个问题:纽约在美国的哪个州?
不知道……
不知道没关系,但我现在告诉你,美国总共有 50 个州,你来猜一猜吧!
嗯好的,这样我顶多猜 50 次就能猜中正确答案了!
要的就是这句话!我们来想一想,为什么猜 50 次就一定能猜中呢?因为美国总共只有 50 个州,所以答案只可能是 50 个州中的一个。(硬要说 49 次也行,不要在意这些细节……)
换句话说,『候选答案集合』里元素的个数是 50 个,是有限的。
当『候选答案集合』里元素的个数是有限的时候,你在猜之前就能知道最多需要才多少次。
对了,不用猜了,纽约在纽约州……
当『候选答案集合』里元素的个数不是有限的时候会是什么样的情况呢?
嗯,请听题:存在有多少种正多面体?
我猜猜……一种……?
不对!
两种……?
再想!
三种……?
还是不对!
四种……?
接近了!
五种???
哇你答对了你好厉害哦!
好吧,客套话而已,没什么厉害的。你只是一个个地猜嘛╮(╯_╰)╭
这回,候选答案可以是任何正整数,这就不是有限的了。可以看出,这回你没有办法提前知道最多要猜多少次。
只猜了五次是因为答案就是 5,如果要是问『Taylor Swift 有多少前男友』,你可能就要这么猜上好一会儿了……(不用猜了,这里有答案:Who is Taylor Swift dating?)
但是!注意!尽管你不知道需要猜多少次,但是你知道,照这么猜下去,一定在某个时候可以猜到答案!!
这点很重要,我再说一遍:因为这题的答案只能是个正整数(啊因为 TS 至少也有一个前男友嘛),所以你把正整数从小到大一个个猜过去,总能猜到答案。
如果按照顺序猜下去,一定可以在某个时候猜到答案的话,我们就可以说,『候选答案集合』是可数无穷的。(有限的情况之前已经说过了,这里就忽略了。)
在这个例子里,正整数集就是可数无穷的。
『有限的』与『可数无穷的』合在一起称为『可数的』。
『猜答案』是一个判定集合是否可数的好方法!我们现在已经知道,正整数集是可数的,那么如果加上负整数呢?整数集是可数的吗?
换句话说,如果我问你个问题,唯一确定的是这个问题的答案是整数,你有办法一定能把答案猜出来吗?
这回『从小到大猜』的方法可就不管用了,因为根本就没有最小的整数呀!
好吧,我们可以从中间向两边猜 / 按照绝对值从小到大的顺序来猜,即 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ……这样一来,只要答案是某个整数,那么一定可以猜到!
所以,整数集也是可数的。
有理数集呢?可数吗?
换句话说,如果我问你个问题,唯一确定的是这个问题的答案是有理数,你有办法一定能把答案猜出来吗?
还是有办法的,我们可以按照最简分数的分子分母之和从小到大的顺序来猜,即:
(图片来自 Wikipedia。红色的不是最简分数,猜的时候可以跳过,因为其最简形式已经被猜过,想想为什么。)
所以,有理数集是可数的。
好,那代数数是可数的么?
是的,我们可以按照代数式字符数从小到大的顺序来猜,即:
三个字符:
四个字符:
五个字符:
……
……
如此猜下去,对于任何一个有理数,我们都会在某个时候猜到它。
所以,代数数集是可数的。
可计算数是可数的吗?可定义数是可数的吗?
好吧这两个问题可能有点麻烦,因为我并没有说清楚什么叫『可计算数』和『可定义数』……我不打算在这里具体去解释这两个词啦,不过这两个问题的答案都是肯定的,因为我们可以分别按照算法和文字段落的长度从小到大的顺序来猜。
(M67 大神在图灵生日会上具体讲过『可计算数』,可以看顾森在图灵生日会上的演讲。)
连可定义数都是可数的,那还有什么东西是不可数的么?
有!实数集不可数。
换句话说,如果我们只知道某个问题的答案是个实数,那么我们没有任何办法按照某种顺序把它猜出来。
(好吧其实不太严谨,因为这样一来这个数是『可定义的』,我最好说『某个不可知的问题的答案』——这不是定义,只是描述。)
怎么证明呢?注意,要想证明一个集合可数,我们只需要找出一种猜法就行了;但要想证明一个集合不可数,我们必须要证明不存在任何一种猜法!怎么办……?
这个时候就要请出『第一个理解了无穷大的人』——乔治·康托尔(Georg Cantor)。
康托尔在 1891 年的这篇论文里很巧妙地证明了实数不可数。实际上,这种『对角论证法』说明 0 到 1 之间的实数已经不可数了。
康托尔用的是反证法:假设存在一种『猜法』,即把 0 到 1 之间所有实数不重复不遗漏地排列出来的方法,如下(截图自 Wikipedia):
现在我们构造一个 0 到 1 之间的实数,其小数点后的第 n 位与
不同:
也就是说,这个数的小数点后第一位不是 5,第二位不是 1,第三位不是 4……
这就意味着,这个数与列表中的每一个数都至少在小数点后第 n 位是不同的。再换句话说,这个数不在这个列表里!
无论列表是什么样的,我们总能用这种方法构造出一个不在列表中的数,这就意味着,没有任何一个列表可以包含所有的 0 到 1 之间的实数。
所以,实数不可数。
可定义数是可数的,而实数是不可数的,这意味着什么……?没错……不可定义的实数远远多于可定义的实数——几乎所有的实数都是不可定义的。
等等,几乎所有的实数都是不可定义的???举个例子???
不不不,根本就举不了例子,因为它们不可定义。引用 M67 大神在比根号 2 更“无理”的数这篇文章中说的话:
好在,虽然有那么多数是没有办法描述的,但数学家们也不会损失什么。每一个值得研究的数一定都有着优雅漂亮的性质,这些性质就已经让它成为了能够被定义出来的数。
嗯。
既然提到了康托尔,我就再多说几句。我在直线是由点组成的吗?那不是说无限个零相加大于零?这篇回答里提到了『测度』的概念。
所有的可数的集合都是零测集。如果在一个可测集内,不满足某个性质的元素构成的集合是零测集,我们就说此性质在这个可测集上『几乎处处』成立。
好吧我知道这个概念很复杂……我就是想安利一下康托尔函数嘛╭(╯^╰)╮
康托尔函数是连续的,在其定义域[0, 1]上的导数几乎处处为零,然而 f(0)=0, f(1)=1!!!
用通俗(但不严谨)的话来说,康托尔函数的图像是连续的,没有断开,而且图像上几乎每一个地方都是水平的,但是它神奇地却从 0 升高到了 1!!!
想知道这是怎么回事吗?
一切精彩,尽在测度论╮(╯▽╰)╭
那么就这样=w=
客官,这篇文章有意思吗?
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再逛逛吧 ˊ_>ˋ
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