作者：@中科大胡不归
【作者按：《中国古代数学思想》，孙宏安着，大连理工大学出版社2008年4月第一版，编入《数学科学文化理念传播丛书》。上一篇见http://weibo.com/p/1001603910491280915554。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五 的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603906501717657445。】
第六章：数学思想的异彩——宋元数学高峰。本篇记录此章第2节第1部分的（2）和第2部分的（1）的<1>和<2>。
6.2 宋元数学思想的特点
1、表述体系的逻辑化
（2）《杨辉算法》
以《杨辉算法》之一《乘除通变本末》来分析其表述体系。这是一个宏观结构就以逻辑发展的需要构成的体系。
与传统的《九章算术》的数学应用领域和常用数学模型作为建构体系的标准不同，《乘除通变本末》是以数学本身的逻辑要求建构体系的。按：这是一件大好事。可惜的是只用于教读者乘除法这种初级的数学，更高级的数学还没有达到这种逻辑化程度的。
2、数学内容的抽象化
（1）数学抽象达到了新的层次
前面关于表述体系的论述，已经指出宋元数学在抽象层次上的发展。这里就主要题问的产生方式、逻辑推导的作用和纯数学课题的引入来阐述。
<1>主要题问不是“实际问题”
这一点在前面分析《数书九章》的结构时已指出，这是宋元数学的一个普遍性的现象。
如《杨辉算法》，全书给出197问，都是为了验证书中给出的术而设立的。杨辉自己也指出：“前立诸术，必命题草，以试可用。”
在《田亩比类乘除捷法》中，杨辉指出：“中外周之数可以信笔出题，惟径步不可得而擅立，须以内周减外周余六而一为径。”
再如李冶的《测圆海镜》170问，都是已知某种条件（三角形中的线段），求一个“圆城”（三角形内切圆）的直径。这个问题本身就不是实际问题——人们一般不修圆形的城池，即使修也是先确定直径然后才有其他数据。为什幺一个问题作了170问，给出种种不同条件求同一个结论？按：后文指出，所有问题的答案都是240步。
实质在于探讨各种线段的关系。这纯是一个抽象的理论问题而不是实际问题。
贾宪的开方作法本源也表现出同样的抽象层次。在古代数学中，由实际问题的需要，人们提出了开二次方、三次方的题问（来自求田地面积和求土方体积的反问题），而开方作法本源发展出开4次方、5次方以至于6次方的题问。发展出开任意次方的增乘开方法和二项系数表则完全是高度的抽象思维的产物了。
朱世杰的两部数学着作《四元玉鉴》和《算学启蒙》中的大多数问题都没有实际来源，是人为编造的。
<2>逻辑推导成为重要的数学内容
从《杨辉算法》来看，全书都努力从逻辑的角度展开内容，那就是确定逻辑起点、逻辑中介和逻辑结论。
以《田亩比类乘除捷法》为例进一步探讨这一点。该书以“直田”作为逻辑起点，杨辉指出：“为田亩算法者，盖万物之体，变段终归于田势；诸题用术，变折皆归于乘除。”还说：“直田长阔相乘，与万象同。”即直田面积问题是数学中最简单、最抽象、能由之推导出其他各种问题的第一问。
但是是否由直田真能逻辑推导出该书的所有问题呢？并不是的。如对“斤两匹尺”、“圆箭方箭”、“圭垛梯垛”等问题，就是通过“比类”方法解决的，这并不是一种严格的逻辑推导方法。原因是数学中直田并不是抽象的终点。进一步的抽象产生数的乘除运算——那才真正是最抽象的东西，由它就能逻辑推导出该书涉及的所有问题。
逻辑起点的抽象不足表明该书的逻辑体系是不够严密的。杨辉似已认识到这一点，所以把由直田到斤两圆箭的导出称为“比类”，而把由直田割补到解方程问题的导出称为“演段”，没有把二者等同起来。能做到这一点，说明杨辉在数学抽象方面有较深刻的思考，作了颇多的努力。
李冶的《测圆海镜》是从《九章算术》勾股章“勾股容圆”问开始的：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”按：直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，则内切圆半径r = (a + b - c) /2。《九章算术》给出的算法是r = ab / (a + b + c)，等价但是不够简化。杨辉给出了简化后的公式。你能证明出来吗？
全书12卷，170问，都是关于已知直角三角形三边上的某些线段，而求内切圆或旁切圆或圆心在某一边上而切于另两边的圆的直径的问题。
全书从“圆城图式”——一个直角三角形及其内切圆和相关的各种线段的图式——开始。然后在“总率名号”下对全书要用到的各种概念进行了定义，紧密结合圆城图式进行。例如“天之地为通弦，天之乾为通股，地之乾为通勾”（“之”意为“到”，即“由天到地这条线段叫做通弦”等）。圆城图式上各点上的汉字“天”、“地”、“乾”、“旦”等具有了现在几何图形常用的字母标符的意义，这是一个抽象化的重大创举——这些汉字已经没有其原来的意义了，只是起到一个位置标记的作用，就像现在几何学中的字母一样。李冶对圆城图式中的每一条线段都给以确定的定义，再如“天之日为上高弦”、“日之川为皇极弦”等等。按：中国数学终于走到了这一步！值得纪念的重大进步。只是西方的几何学从一开始就用字母表示点，我们迟了一千多年，而且“天”、“地”、“乾”、“旦”等还是比A、B、C、D难写得多。非字母的文字，在这方面吃的亏太大了。
然后在“今问正数”的名目下用勾股定理给出了前面定义的各个线段之长。勾股定理成为《测圆海镜》中推理论证的逻辑起点。
接下来在“识别杂记”的名目下给出了圆城图式中各个线段的关系。例如“天之于日与日之于心同，心之于川与川之于地同”，相当于各线段数量关系的命题。按：很有趣的结论。你能证明吗？
在后面的解题过程中常常用到这些命题，并以这些命题为依据进行推演。实际上，这些命题就相当于逻辑推理体系中的定理。“识别杂记”列出的定理共有7类692条，已经具有了某种体系。
最后就由这些定理证明书中提出的170问，都是关于某种圆的直径的问题，而且答案都是240步（每个题都说“问答同前”）。例如：“乙出东门南行三十步而立，甲从乾隅东行三百二十步，望乙与城参相直，问答同前。”按：这个特点把写《测圆海镜分类释术》的顾应祥（1483—1565）搞糊涂了，“细考《测圆海镜》，如求城径即以二百四十为天元，半径则以一百二十为天元，既知其数，何用算为？似不必立可也”，完全没明白列方程解未知数的道理！顾应祥固然水平太低，李冶难道没有责任吗？把每道题的答案设计成不一样会死啊？
这些并不是实际需要的问题，逻辑推导才是《测圆海镜》的主要内容。那幺为什幺要以“实际问题”的形式出现，而不直接以抽象的逻辑形式，例如像《几何原本》那样抽象的图形证明的形式出现呢？原因就在于中国古代的数学传统。
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