黎曼曲率张量之披萨怎幺拿在手里才不会弯！
今天晚上我们吃啥 2015-12-16 21:55:21
我们之前说，无挠性要求导数算符的对易子对于流形上面函数的作用等于零。但是，导数算符对易子对于一般张量场的作用却未必是零。根据导数算符的无挠性条件，可以证明，导数算符的对易子对于对偶矢量场的作用，其效果是生成一个（0,3）型张量场。我们把所生成的那个（0,3）型张量场看做是一个（1,4）型张量场对一个对偶矢量场作用的结果，这个（1,4）型张量场就叫做黎曼曲率张量。
事实上，当我们在一个流形上给定导数算符的结构以后，导数算符就不可避免地携带了流形的几何性质，它就体现在黎曼曲率张量里。
我们知道曲面和平面是不同的，曲面是弯的。但是，在说这句话的时候，实际上是默认在三维空间里观察二维面是弯是直，这需要曲面本身是镶嵌在三维空间里的一种结构。庞加莱就问了这样一个问题：如果一只具有高度智慧的蚂蚁从出生起就一直生活在一张曲面上，它没有任何三维的概念， 那幺这只蚂蚁如何判定这张曲面是否存弯曲？一个显然的例子是，把一个弯曲的柱面沿着母线展开，它就自然成为了一个直面。所以如果有一只蚂蚁爬上了一根柱子，它是无法感受到任何的“弯曲”的，它所感受的一切就和柱面展开后的平面一模一样。但是球面就不同了，你无论如何也不能把球面展开成平面，这就是为什幺世界地图无法精确地画在一张纸上。如果生活在球面上的蚂蚁画一个三角形，那幺它将测到一个大于180度的内角和！于是蚂蚁会立刻意识到，脚下这片土地，弯了。蚂蚁做出这个判断并没有站在球面外的三维空间里，所以球面种弯曲是一种内蕴的弯曲。这样的弯曲不依赖于曲面是否镶嵌在某一个更高维的空间里，它和外部空间没关系，叫做内曲率。而圆柱面的那种弯曲，只是平面镶嵌进三维空间里的方式引起的，叫做外曲率（当然球面也是有外曲率的）。我们在上面定义的黎曼曲率张量，就描述了流形的内蕴弯曲。
内曲率的存在，是高斯在研究曲面论时的伟大发现。在历史上，人们曾一直把曲面看成是欧式空间的子集，通过曲面在欧式空间中的嵌入来研究曲面的几何。高斯的发现彻底地改变了人类的思想，曲面本身就是一个独立的空间，“弯曲”的存在不依赖于背景空间，也不依赖于嵌入方式，它只跟曲面流形上的导数算符结构有关，或者说只跟曲面流形上的度规张量场有关（因为度规和导数算符是适配的）。
现在可以把内蕴弯曲的概念推广到我们生活的时空里。如果时空的度规所决定的那个适配导数算符，导致了一个等于零的黎曼曲率张量，那幺时空就是平直的，对应的度规是平直度规；反之，如果时空的黎曼曲率张量不是零，时空就是弯曲时空。爱因斯坦广义相对论的核心内容，就是质量和能量会导致时空的内蕴弯曲，而万有引力现象不过是时空内蕴弯曲的表现。
后来，爱因斯坦的小女儿问他，“为什幺你那幺有名？”爱因斯坦就给她讲了那个蚂蚁的故事，然后说，“别的蚂蚁都以为这张曲面是直的，只有我这只蚂蚁看出来，空间它是弯的。”
事实上，当我们在一个流形上给定导数算符的结构以后，导数算符就不可避免地携带了流形的几何性质，它就体现在黎曼曲率张量里。
我们知道曲面和平面是不同的，曲面是弯的。但是，在说这句话的时候，实际上是默认在三维空间里观察二维面是弯是直，这需要曲面本身是镶嵌在三维空间里的一种结构。庞加莱就问了这样一个问题：如果一只具有高度智慧的蚂蚁从出生起就一直生活在一张曲面上，它没有任何三维的概念， 那幺这只蚂蚁如何判定这张曲面是否存弯曲？一个显然的例子是，把一个弯曲的柱面沿着母线展开，它就自然成为了一个直面。所以如果有一只蚂蚁爬上了一根柱子，它是无法感受到任何的“弯曲”的，它所感受的一切就和柱面展开后的平面一模一样。但是球面就不同了，你无论如何也不能把球面展开成平面，这就是为什幺世界地图无法精确地画在一张纸上。如果生活在球面上的蚂蚁画一个三角形，那幺它将测到一个大于180度的内角和！于是蚂蚁会立刻意识到，脚下这片土地，弯了。蚂蚁做出这个判断并没有站在球面外的三维空间里，所以球面种弯曲是一种内蕴的弯曲。这样的弯曲不依赖于曲面是否镶嵌在某一个更高维的空间里，它和外部空间没关系，叫做内曲率。而圆柱面的那种弯曲，只是平面镶嵌进三维空间里的方式引起的，叫做外曲率（当然球面也是有外曲率的）。我们在上面定义的黎曼曲率张量，就描述了流形的内蕴弯曲。
内曲率的存在，是高斯在研究曲面论时的伟大发现。在历史上，人们曾一直把曲面看成是欧式空间的子集，通过曲面在欧式空间中的嵌入来研究曲面的几何。高斯的发现彻底地改变了人类的思想，曲面本身就是一个独立的空间，“弯曲”的存在不依赖于背景空间，也不依赖于嵌入方式，它只跟曲面流形上的导数算符结构有关，或者说只跟曲面流形上的度规张量场有关（因为度规和导数算符是适配的）。
现在可以把内蕴弯曲的概念推广到我们生活的时空里。如果时空的度规所决定的那个适配导数算符，导致了一个等于零的黎曼曲率张量，那幺时空就是平直的，对应的度规是平直度规；反之，如果时空的黎曼曲率张量不是零，时空就是弯曲时空。爱因斯坦广义相对论的核心内容，就是质量和能量会导致时空的内蕴弯曲，而万有引力现象不过是时空内蕴弯曲的表现。
后来，爱因斯坦的小女儿问他，“为什幺你那幺有名？”爱因斯坦就给她讲了那个蚂蚁的故事，然后说，“别的蚂蚁都以为这张曲面是直的，只有我这只蚂蚁看出来，空间它是弯的。”
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