幸好这个问题不难。

先从二维看吧。

平面上一个坐标（基准位置）为 x、y，边长为 a 的正方形，我这么表示它的四个顶点坐标：

([x, x+a], [y, y+a])

在一个轴上不变，另一个轴上平移 ±a，可以得到一个和它相接的正方形，这两个正方形之间有一条边是重合的。

构造所谓「基础型」（Tetrimino）时，有两个原则：

沿 x 或 y 轴任意一轴，以 a 为单位进行任意距离平移，即 x₂ = x₁ + na; y₂ = y₁ + na，得到的图形和原图形等价。

绕虚设的 z 轴进行 90 度旋转，即 x₂=y₁;y₂ = -x₁，得到的图形和原图形等价。

为了简化描述，这里再转换一下坐标系：设正方形边长是 1，第一个正方形的坐标是 (0,0)。

显然，两个正方形的情况下，不管怎么连接都等价于这个：

(0, 0), (1, 0)

三个正方形的情况下，可以连接成两种形状：

(0, 0), (1, 0), (0, 1)

(0, 0), (1, 0), (2, 0)

增加到第四个正方形的时候，需要在之前的形状上选择一个邻接面。也就是「选择一个正方形」，「再选一个轴」，「再选一个方向」。

得到的排列组合中，去掉不合法的（有时第四个正方形会和之前的正方形重叠），再去掉等价重复的，最后就是你知道的 7 种形状：

(0, 0), (1, 0), (0, 1), (-1, 0) — T

(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) — O

(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, -1) — S

(0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 0) — J

(0, 0), (1, 0), (0, 1), (0, 2) — L

(0, 0), (1, 0), (0, 1), (-1, 1) — Z

(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0) — I

注意，除了直棍 I 以外的所有形状，都可以看成是 L 型的衍伸，也就是说只重点考虑 L 型即可。

三维的情况类似。

首先，多了一个实际存在的 z 轴。空间中正方体的八个顶点的坐标为：

([x, x+a], [y, y+a], [z, z+a])

保持其中两个轴不变，另一个轴上平移±a 可以得到一个和原正方体相接的正方体。它们之间有一个面重合。

构造三维版的基础型（Tetracube）时中，被视为等价的变换除了平移外，绕其中任意一轴以 90 度为单位旋转也包括在内。

于是，三个正方体的情况下，可以连接成两种形状：

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (2, 0, 0)

再加一个正方体，利用上面的原则，可以得到这些不重复的形状：

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (-1, 0, 0) — T

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) — （没名字，我这里暂称 W）

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) — O

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, -1, 0) — S

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 1) — （暂称 V）

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, -1) — （暂称逆 V）

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (2, 0, 0) — L

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (2, 0, 0), (3, 0, 0) — I

注意，三维空间下，不再区分 S 与 Z、J 与 L。二维平面中的对称形状只能通过翻转得到，光靠旋转是不能实现的；而三维空间中由于 x 和 y 轴也都变成了可旋转的了，等于获得了翻转二维形状的能力。新引入的「V」和「逆 V」具有手性，无法通过三维旋转互换。

到了四维，又多了一个轴，因此「超正方体」拥有 16 个顶点，坐标变成了这样：

([x, x+a], [y, y+a], [z, z+a], [m, m+a])

构造相接超正方体的原则相同，保持三个轴不变，只在一个轴上平移 a。得到的超正方体和之前的超正方体之间有一个「正方体」是重合的。

不同点是关于旋转，这里认为在四维空间下，某个点能够绕着一个平面旋转，例如点(x, y, z, m)绕着平面 xy 正向旋转 90 度，则坐标会变为(x, y, m, -z)。

和之前一样，我们允许任意平移、旋转。在只有三个超正方体的时候，它们的连接依然只有两种形状。

(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)

(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (2, 0, 0, 0)

在这两种形状的基础上再增加一个超正方体，得到的独特组合如下：

(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (-1, 0, 0, 0) — T

(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) — W

(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0) — O

(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0) — S

(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0) — V

(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (2, 0, 0, 0) — L

(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (2, 0, 0, 0), (3, 0, 0, 0) — I

注意，由于多引入了一个轴，原三维空间下的「V」和「逆 V」也变成等价互换的了。所以，四维空间下，由四个超正方体构成的基础型共有 7 种形状。

光是这么说可能难以理解，来张图感受一下吧：

图片作者 Livio Zucca，来源网页http://www.iread.it/lz/polyhypercubes.html，强烈推荐阅读原网页——人家不光研究了由四个超立方体构成的Tetrahypercube，还研究了由五个超立方体构成的 Pentahypercube。

以上。谢谢阅读。

客官，这篇文章有意思吗？

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